Programación Lineal, la herramienta justa para minimizar costos y maximizar beneficios.

La programación lineal es una herramienta de la administración de las operaciones utilizada en situaciones de negocios donde los recursos son limitados y la demanda de los mismos es grande. En oras palabras, se trata de una técnica de programación matemática que se utiliza para solucionar los problemas referentes a la asignación de recursos escasos de manera óptima entre actividades que compiten por el uso de los mismos. Los recursos a los cuales nos referimos pueden ser tiempo, dinero o materiales, y las limitaciones se conocen como restricciones del sistema productivo. Para este tipo de problemas buscaremos minimizar los costos/gastos y maximizar beneficios.

Componentes a utilizar en la formulación de un problema de programación lineal

Estos modelos cuentan con 3 componentes fundamentales a identificar, que desarrollamos a continuación:

• Variables de decisión: Las variables que representan las opciones que están bajo el control de la persona que toma las decisiones.
• Función objetivo: Una expresión en el modelo de programación lineal que enuncia matemáticamente lo que se intenta maximizar (por ejemplo, las utilidades o el valor presente) o minimizar (por ejemplo, los costos o el desperdicio).
• Restricciones: Las limitaciones que restringen las opciones permisibles para las variables de decisión.

Requisitos y supuestos para la formulación de un problema de programación lineal.

Para desarrollar un modelo de estas características, es necesario que cuente con las siguientes características:

• Deben buscar maximizar o minimizar una variable crítica (a la que llamaremos la función objetivo).
• Los recursos son limitados.
• Linealidad: la función objetivo y las restricciones se expresan como funciones lineales.
• Certeza: valores de los parámetros son conocidos y constantes.
• Divisibilidad de productos y recursos, que implica que las variables pueden tomar valores no enteros.
• Homogeneidad: no hay economías de escala.

¿Cuáles son las aplicaciones de la programación lineal en empresas e industrias?

A continuación desarrollamos algunos ejemplos de cómo se aplica la programación lineal en las empresas y cuáles son sus objetivos.

• Planificación de la producción: En esta área, busca encontrar la programación de producción de mínimo costo, teniendo encuentra las restricciones en el tamaño de la fuerza laboral y en los niveles de inventario.
• Planificación de productos: en este caso, el objetivo es determinar la combinación óptima de productos, cuando varios productos tienen diferentes costos y requerimientos de recursos. (combinación óptima de materias primas que componen las naftas, pinturas, alimentos para animales, etc.)
• Planificación de turnos: También puede aplicarse en servicios. En este caso, busca hallar la asignación de trabajadores por turnos, para producir a un costo mínimo, bajo una demanda variable.
• Control de procesos: Desde el punto de vista de la calidad, la programación lineal busca minimizar la cantidad de material de desperdicio que se genera en los cortes de acero, cuero o tela de un rollo o lámina de material almacenado.
• Control de inventario: Determinar la combinación óptima de productos almacenados en un almacén.
• Distribución: Encontrar las asignaciones óptimas para envíos desde fábricas hasta centros de distribución.
• Estudio sobre ubicación de plantas: Determinar la ubicación óptima de la planta al evaluar los costos de envío entre lugares alternativos, partiendo de fuentes de aprovisionamiento y demanda ya existentes.
• Ruta óptima de productos: Determinar la ruta óptima de un producto que se tiene que procesar de modo secuencial en varios centros de máquinas, teniendo cada máquina sus propias características de costo y producción.
• Programación de vehículos: Asignar vehículos a productos y determinar el número de recorridos, dependiendo del tamaño del vehículo, la disponibilidad del mismo y las restricciones de la demanda.

Veamos un ejemplo de un problema de programación lineal

Este caso se trata de una compañía del rubro de la construcción que fabrica cerramientos de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio.  Actualmente opera con 3 plantas de producción en donde la planta 1 produce marcos de aluminio, la planta 2 produce marcos de madera y la Planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos.

La compañía decidió fabricar dos nuevos productos que son una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio (llamémosle «Producto 1») y Ventana de 4×6 pies con marco de madera(llamémosle «Producto 2»). Cada producto se fabrica en lotes de 20 unidades y el mix de producción se define en lotes por semana.

El jefe de producción de dicha compañía es un ingeniero industrial muy comprometido con la correcta utilización de los recursos, por lo cuál quiere averiguar cuál es el mix de producción que maximiza la ganancia.

Para iniciar con el análisis vamos a realizar un flujograma general del proceso para entender como interactúan las plantas y los depósitos con la demanda.

Formulación del modelo para este problema

Para cualquier problema de programación lineal, lo más importante es definir 3 puntos fundamentales: las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo.

Definición de las variables de decisión

Para definir las variables de decisión (VD) lo recomendable es siempre pensarlo desde el punto de vista de cuáles son aquellos aspectos que estan bajo nuestro control y sobre las cuales podemos influir. En este caso, vamos a definir como variables de decisión (VD):

X = # de lotes del producto 1 a producir por semana

Y = # de lotes del producto 2 a producir por semana

Identificación de las restricciones

El segundo paso es identificar cuáles son las restricciones de nuestro modelo para luego expresarlas en función de las variables de decisión. Por lo general, la restricciones suelen asociarse a los recursos, a la demanda y a otras variables de contexto. Para este ejemplo podemos identificar las siguientes restricciones:

Disponibilidad de tiempo de cada panta, en donde:

Definición de la función objetivo (Función Z)

Por último debemos definir cuál es la función objetivo. Este hito va a depender escencialmente de qué estemos buscando (si minimizar costos, minimizar la utilización de algún recurso, maximizar beneficios, etc.). Es importante remarcar que en este punto, los problemas siempre se tratarán de maximizar o minimizar alguna función. Para este caso, como lo que buscamos es el mix de producción ideal que me permita maximizar el beneficio, podremos defnir a nuestra función objetivo como:

Maximizar Z = 3*X + 5*Y

Siendo 3 y 5 los valores de venta de cada producto expresada en K$.

Habiendo ya planteado el problema, nos dispondremos a solucionarlo buscando determinar la combinación de X e Y (cantidad a fabricar de puertas y ventanas) que maximizan Z, sujeto a las restricciones de disponibilidad y de no-negatividad.

¿Cómo resolver este problema de manera gráfica?

Para resolver el problema haremos una representación gráfica de 2 dimensiones en donde cada una represente a las variables de decisión X e Y. Sobre éstas graficaremos las rectas de las restricciones y la recta de isobeneficio (Z)

Primero que nada y a modo de ejemplo, graficaremos distintos valores de Z. Enla imagen de abajo podemos ver que la pendiente de la recta surge de las ganancias por lote. Cada recta muestra la combinación de producción que entrega esa ganancia.

Por ejemplo: La ganancia es $12 con:
X = 0 e Y = 2,4
X = 4 e Y = 0
X= 3,5 e Y= 1

Y así para cualquier par X;Y para una determinada recta de ganancia.

Si cambiáramos los coeficientes de Z (es decir, los ingresos que obtengo por cada producto), las pendientes de la recta serían otras:

De la misma manera que graficamos la función objetivo, vamos a graficar las restricciones del modelo planteando anteriormente. Como se puede ver, las restricciones son rectas que se intersecan entre si en determinados puntos. El área que queda definida por estas rectas (sombreado en la imagen) se llama región factible y está compuesta por todas las soluciones posibles a este problema de programación lineal.

Esto quiere decir que cualquier punto dentro de esta región factible (incluidas las rectas de cada restricción) conforman una solución factible para este problema, pero lo que aún no sabemos el cuál o cuáles de ellas es/son la/s óptimas.

Gráfico de la región factible

Encontrar la solución óptima de manera gráfica

Cuando el objetivo es maximizar y los coeficientes son positivos, la ganancia crece hacia arriba y a la derecha (X e Y aumentan). Por lo cual, lo que se debe hacer es mover la recta de la función Z en ese sentido hasta poder detectar cuál es el último punto que toca de la región factible.

Cómo podemos ver en la resolución gráfica, el mix de producción óptimo para este modelo serán 2 unidades del producto 1 y 6 unidades del producto 2, con un beneficio total de $ 36000.

Conclusiones y puntos destacados

Podemos definir un procedimiento para la representación de este tipo de problemas teniendo en consideración:

• El número de variables de decisión determina la dimensionalidad del espacio del problema
  • Problemas de 2 variables puede representarse en un gráfico 2-D
  • Elegir un eje para cada variable
• Las restricciones determinan el conjunto de soluciones factibles
  • Cada desigualdad determina un semiplano factible
  • La región factible es la intersección de semiplanos factibles
  • Para dibujar una restricción, elegir dos puntos que la satisfagan y trazar la recta que pase por ambos
  • El semiplano factible es el que satisface la desigualdad correspondiente
• Una solución óptima siempre se encuentra en un vértice
  • Elegir un VFO arbitrario y trazar una línea de iso-profit eligiendo dos puntos arbitrarios.
  • Encontrar la dirección de mejora del VFO; y localizar candidatos a vértices óptimos.
  • Calcular la solución correspondiente a cada vértice candidato resolviendo el sistema de ecuaciones de las restricciones activas en ese punto.
  • Comparar VFOs sustituyendo las coordenadas de la solución candidato en la función objetivo.

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