Programación Lineal 📉 minimiza costos y maximiza beneficios.

La programación lineal es una herramienta de la administración de las operaciones utilizada en situaciones de negocios donde los recursos son limitados y la demanda de los mismos es grande.

En oras palabras, se trata de una técnica de programación matemática que se utiliza para solucionar los problemas referentes a la asignación de recursos escasos de manera óptima entre actividades que compiten por el uso de los mismos. Los recursos a los cuales nos referimos pueden ser tiempo, dinero o materiales, y las limitaciones se conocen como restricciones del sistema productivo. Para este tipo de problemas buscaremos minimizar los costos/gastos y maximizar beneficios.

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✅ ¿De dónde surge la programación lineal?

La programación lineal, un pilar fundamental en el ámbito de la investigación de operaciones, ha evolucionado de manera significativa desde sus primeros conceptos hasta convertirse en una herramienta indispensable en la toma de decisiones empresariales y gubernamentales. Su desarrollo histórico ha sido una narrativa apasionante, marcada por contribuciones clave de matemáticos visionarios y aplicaciones prácticas que han transformado la gestión eficiente de recursos.

A mediados del siglo XX, figuras como George B. Dantzig y Leonid Kantorovich sentaron las bases teóricas de la programación lineal. La formulación de modelos matemáticos para la asignación óptima de recursos en situaciones de restricciones lineales dio paso a algoritmos revolucionarios, como el Método Simplex, desarrollado por Dantzig en la década de 1940. Este método proporcionó una solución eficaz para problemas de optimización lineal, abriendo las puertas a aplicaciones prácticas en la gestión de cadenas de suministro, producción y logística.

La década de 1970 presenció el auge de la programación lineal en la planificación estratégica y la toma de decisiones corporativas. El desarrollo de software especializado permitió la resolución eficiente de problemas más complejos, consolidando la posición de la programación lineal como una herramienta esencial en la investigación de operaciones.

En el siglo XXI, la programación lineal ha evolucionado aún más con la integración de técnicas avanzadas, como la optimización convexa y la programación no lineal. Su aplicación se extiende a campos tan diversos como la ingeniería, la economía, la salud y la inteligencia artificial, demostrando su versatilidad y relevancia continua en un mundo cada vez más complejo y globalizado. En resumen, la programación lineal no solo ha dejado una huella imborrable en la historia de la investigación de operaciones, sino que también sigue siendo un faro guía para la eficiencia y la toma de decisiones informadas en la actualidad.

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✅ Introducción a la Programación Lineal

Ya hemos dado una breve introducción teórica a lo que refiere la programación lineal, pero si lo analizamos más en profundidad en términos prácticos de la industria, nos deberíamos preguntar ¿cuándo vale la pena optimizar algo?

Veamos el caso con un ejemplo. Supongamos que debes desempeñar el rol de gerente de operaciones de una fábrica de insumos médicos. Se sabe que la fábrica produce un único producto (1 solo SKU) y que el margen bruto de ganancia es alto. Además se sabe que tiene las siguientes características:

• Tiene disponibilidad infinita de materia prima
• Tiene capacidad disponible infinita
• Tiene una demanda infinita

¿Cuánto fabricarías?

Podríamos pensar que al tener demanda infinita y disponibilidad infinita de medios e insumos, deberíamos fabricar todo lo que pudiésemos.

Ahora bien, ¿qué pasa si de repente, ya la disponibilidad de la materia prima pasa a ser finita? en este nuevo escenario, ¿Cúnato fabríacarias?

Nuevo escenario:

• Tiene disponibilidad Finita de materia prima
• Tiene capacidad disponible infinita
• Tiene una demanda infinita

Claramente en esta ocasión, al tener una demanda infinita, trataríamos de fabrícar lo máximo posible. La diferencia con el caso anterior es que, al tener ahora una limitación en el acceso a la materia prima disponible (porque dejó de ser infinita y ahora es finita), ese máximo posible va a estar restringido por la disponibilidad de la materia prima. En este sentido podemos decir que la materia prima se convierte en el recurso excaso de nuestro modelo, ya que la capacidad disponible y la demanda siguen siendo infinitas.

Y si ahora también sumamos otra limitación en la demanda, ¿Cuánto fabricarias?

Nuevo Escenario:

• Tiene disponibilidad Finita de materia prima
• Tiene capacidad disponible infinita
• Tiene una demanda Finita

Siguiendo con la lógica del caso anterior, deberíamos comenzar por análizar aquello que dejó de ser infinito y pasó a ser finito. En este caso, la disponibilidad de la materia prima y la Demanda. A la pregunta de cuánto deberíamos fabricar ahora se empieza a meter un poco la lógica de la programación lineal donde las restricciones de un modelo empiezan a competir. En este caso, la restricción de la materia prima y la restricción de la demanda se encuentran para buscar un óptimo. La respuesta a cuánto deberíamos fabricar está dada por aquella cantidad que maximiza los ingresos en función de la demanda máxima y la cantidad de materia prima disponible.

Lo anterior es solo un ejemplo de desarrollos de problemas sencillos de programación lineal. Luego se podrían ir complejizando agregandole más variables como por ejemplo más variedad de productos. Es decir, que en lugar de producir 1 modelo de producto como en el caso anterior, sean muchos más. Por otro lado, se podría comlejizar aún más el modelo si vemos que todos esos diseños de productos que compiten entre sí para ser fabricados, tienen márgenes de ganancias diferentes y volumenes de demanda diferentes. A medida que agregamos datos al modelo, todo estos comulga en una gran dificultar en gestionar eficientemente los recursos que, sin el conocimiento de la programación lineal, sería imposible de resolver.

✅ La programación lineal cómo herramienta de optimización en la gestión de la Cadena de Suministros

En el vertiginoso mundo de la gestión de cadenas de suministro, enfrentarse a problemas complejos puede parecer desafiante. Pero, ¿cómo vamos a resolver estos problemas? Aquí es donde entra en juego la programación matemática, una potente familia de métodos de optimización que se ha convertido en el caballero de brillante armadura para los profesionales de la logística.

Familia de Métodos de Optimización

La programación matemática abarca diversas técnicas y metodologías, destacando tres en particular:

1. Programación Lineal (LP): Ideal para maximizar o minimizar funciones lineales bajo ciertas restricciones.
2. Programación Entera (IP): Introduce la restricción de que las variables deben ser números enteros, lo que añade un nivel adicional de complejidad.
3. Programación Mixta (MILP): Combina elementos de la programación lineal y entera para abordar problemas más desafiantes y realistas.

¿Por Qué Utilizar la Programación Matemática?

Enfoque Esencial en Cadenas de Suministro

La razón principal es que la programación matemática se ha consolidado como el enfoque más utilizado en la gestión de cadenas de suministro. Desde el diseño de redes hasta la planificación de la producción, la selección de proveedores logísticos, la asignación de inventarios y la planificación de operaciones portuarias/terminales, esta metodología ofrece soluciones óptimas y eficientes.

Accesibilidad Inigualable

No te preocupes por la complejidad. La programación matemática está al alcance de tu mano. La mayoría de los softwares o herramientas de gestión de cadenas de suministro incorporan esta metodología, facilitando su implementación en diversas áreas de tu empresa.

Desde las planillas de cálculo hasta otras herramientas de gestión, la programación matemática se ha integrado de manera integral en las soluciones tecnológicas que utilizas a diario.

Identificación de la «Mejor» Solución

Cuando te enfrentas a restricciones y deseas encontrar la solución óptima, la programación matemática emerge como la mejor manera de identificar esa «mejor» solución. Permite optimizar procesos y recursos, asegurando que tus decisiones estén respaldadas por un enfoque cuantitativo y preciso.

En resumen, al adoptar la programación matemática en la gestión de cadenas de suministro, estás apostando por la eficiencia, la optimización y la toma de decisiones fundamentadas. ¡No dejes que los problemas te abrumen, deja que las ecuaciones te guíen hacia soluciones efectivas!

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✅ Componentes de los modelos de programación Lineal

Existen 3 grandes Componentes en los modelos de programación lineal:

• Variables de decisión: Las variables que representan las opciones que están bajo el control de la persona que toma las decisiones.
• Función objetivo: Una expresión en el modelo de programación lineal que enuncia matemáticamente lo que se intenta maximizar (por ejemplo, las utilidades o el valor presente) o minimizar (por ejemplo, los costos o el desperdicio).
• Restricciones: Las limitaciones que restringen las opciones permisibles para las variables de decisión

Si quieres pasar a la práctica y comenzar a aprender cómo crear modelos de programación lieal, te recomendamos el siguiente artículo:

¿Cómo formular correctamente modelos de programación lineal?

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✅ ¿Cuáles son las aplicaciones de la programación lineal en empresas e industrias?

La programación lineal encuentra aplicaciones cruciales en empresas e industrias para la optimización de recursos. Desde la gestión de la cadena de suministro hasta la asignación eficiente de recursos financieros, la programación lineal ayuda a maximizar beneficios y minimizar costos. Sectores como la logística, manufactura, finanzas y planificación estratégica utilizan esta herramienta para tomar decisiones informadas y eficientes que contribuyen al rendimiento y la rentabilidad empresarial.

A continuación desarrollamos algunos ejemplos de cómo se aplica la programación lineal en las empresas y cuáles son sus objetivos.

Ejemplos de Programación lineal en las industrias

• Planificación de turnos: También puede aplicarse en servicios. En este caso, busca hallar la asignación de trabajadores por turnos, para producir a un costo mínimo, bajo una demanda variable.
• Control de procesos: Desde el punto de vista de la gestión de la calidad, la programación lineal busca minimizar la cantidad de material de desperdicio que se genera en los cortes de acero, cuero o tela de un rollo o lámina de material almacenado.
• Control de inventario: Determinar la combinación óptima de productos almacenados en un almacén.
• Distribución: Encontrar las asignaciones óptimas para envíos desde fábricas hasta centros de distribución.
• Estudio sobre ubicación de plantas: Determinar la ubicación óptima de la planta al evaluar los costos de envío entre lugares alternativos, partiendo de fuentes de aprovisionamiento y demanda ya existentes.
• Ruta óptima de productos: Determinar la ruta óptima de un producto que se tiene que procesar de modo secuencial en varios centros de máquinas, teniendo cada máquina sus propias características de costo y producción.
• Programación de vehículos: Asignar vehículos a productos y determinar el número de recorridos, dependiendo del tamaño del vehículo, la disponibilidad del mismo y las restricciones de la demanda.

✅ Caso Ejemplo de Programación Lineal aplicado a optimizar el Mix de produción

Este caso se trata de una compañía del rubro de la construcción que fabrica cerramientos de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio.  Actualmente opera con 3 plantas de producción en donde la planta 1 produce marcos de aluminio, la planta 2 produce marcos de madera y la Planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos.

La compañía decidió fabricar dos nuevos productos que son una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio (llamémosle «Producto 1») y Ventana de 4×6 pies con marco de madera(llamémosle «Producto 2»). Cada producto se fabrica en lotes de 20 unidades y el mix de producción se define en lotes por semana.

El jefe de producción de dicha compañía es un ingeniero industrial muy comprometido con la correcta utilización de los recursos, por lo cuál quiere averiguar cuál es el mix de producción que maximiza la ganancia.

Para iniciar con el análisis vamos a realizar un flujograma general del proceso para entender como interactúan las plantas y los depósitos con la demanda.

Formulación del modelo para este problema

Como explicamos en este artículo sobre formulación de modelos de programación lineal, para cualquier problema de programación lineal, lo más importante es definir 3 puntos fundamentales: las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo.

Definición de las variables de decisión

Para definir las variables de decisión (VD) lo recomendable es siempre pensarlo desde el punto de vista de cuáles son aquellos aspectos que estan bajo nuestro control y sobre las cuales podemos influir. En este caso, vamos a definir como variables de decisión (VD):

X = # de lotes del producto 1 a producir por semana

Y = # de lotes del producto 2 a producir por semana

Identificación de las restricciones

El segundo paso es identificar cuáles son las restricciones de nuestro modelo para luego expresarlas en función de las variables de decisión. Por lo general, la restricciones suelen asociarse a los recursos, a la demanda y a otras variables de contexto. Para este ejemplo podemos identificar las siguientes restricciones:

Disponibilidad de tiempo de cada panta, en donde:

Definición de la función objetivo (Función Z)

Por último debemos definir cuál es la función objetivo. Este hito va a depender escencialmente de qué estemos buscando (si minimizar costos, minimizar la utilización de algún recurso, maximizar beneficios, etc.). Es importante remarcar que en este punto, los problemas siempre se tratarán de maximizar o minimizar alguna función. Para este caso, como lo que buscamos es el mix de producción ideal que me permita maximizar el beneficio, podremos defnir a nuestra función objetivo como:

Maximizar Z = 3*X + 5*Y

Siendo 3 y 5 los valores de venta de cada producto expresada en K$.

Habiendo ya planteado el problema, nos dispondremos a solucionarlo buscando determinar la combinación de X e Y (cantidad a fabricar de puertas y ventanas) que maximizan Z, sujeto a las restricciones de disponibilidad y de no-negatividad.

¿Cómo resolver este problema de manera gráfica?

Para resolver el problema haremos una representación gráfica de 2 dimensiones en donde cada una represente a las variables de decisión X e Y. Sobre éstas graficaremos las rectas de las restricciones y la recta de isobeneficio (Z). Si quieres aprender más sobre cómo graficar modelos dep rogramación lineal te recomendamos que leas este artículo sobre Programación Lineal Gráfica.

Primero que nada y a modo de ejemplo, graficaremos distintos valores de Z. Enla imagen de abajo podemos ver que la pendiente de la recta surge de las ganancias por lote. Cada recta muestra la combinación de producción que entrega esa ganancia.

Por ejemplo: La ganancia es $12 con:
X = 0 e Y = 2,4
X = 4 e Y = 0
X= 3,5 e Y= 1

Y así para cualquier par X;Y para una determinada recta de ganancia.

Si cambiáramos los coeficientes de Z (es decir, los ingresos que obtengo por cada producto), las pendientes de la recta serían otras:

De la misma manera que graficamos la función objetivo, vamos a graficar las restricciones del modelo planteando anteriormente. Como se puede ver, las restricciones son rectas que se intersecan entre si en determinados puntos. El área que queda definida por estas rectas (sombreado en la imagen) se llama región factible y está compuesta por todas las soluciones posibles a este problema de programación lineal.

Esto quiere decir que cualquier punto dentro de esta región factible (incluidas las rectas de cada restricción) conforman una solución factible para este problema, pero lo que aún no sabemos el cuál o cuáles de ellas es/son la/s óptimas.

Encontrar la solución óptima de manera gráfica

Cuando el objetivo es maximizar y los coeficientes son positivos, la ganancia crece hacia arriba y a la derecha (X e Y aumentan). Por lo cual, lo que se debe hacer es mover la recta de la función Z en ese sentido hasta poder detectar cuál es el último punto que toca de la región factible.

Cómo podemos ver en la resolución gráfica, el mix de producción óptimo para este modelo serán 2 unidades del producto 1 y 6 unidades del producto 2, con un beneficio total de $ 36000.

Encontrar la solución óptima de forma matemática

Para este caso, podemos resolver el problema matemático de dos maneras. La primera es realizando la igualación de las rectas que conforman el punto óptimo. Al hacer este movimiento, estaremos formando un sistema con 2 ecuaciones y 2 ingcógnicas. Luego, despejamos los valores de X e Y que conforman la solución.

Esta manera de operar matemáticamente podríamos hacerlo también para cada vértice del area factible. Al obtener el valor de cada vértice podremos ver cuál es el mayor, es decir, el óptimo. Esto sive por ejemplo cuando 2 vértices están muy próximos entre sí y gráficamente es dificil detectar cuál es el óptimo.

La dsventaja de este modo matemático es que solo sirve para 2 variables de decisión. Ya cuando tengo más, es recomendable usar un software como puede ser el excel solver. En este link te comparto un artículo que muestra como resolver el ejercicio anterior en Excel Solver.

✅ Conclusiones y puntos destacados

Podemos definir un procedimiento para la representación de este tipo de problemas teniendo en consideración:

• El número de variables de decisión determina la dimensionalidad del espacio del problema.
  • Problemas de 2 variables puede representarse en un gráfico 2-D
  • Elegir un eje para cada variable
• Las restricciones determinan el conjunto de soluciones factibles
  • Cada desigualdad determina un semiplano factible
  • La región factible es la intersección de semiplanos factibles
  • Para dibujar una restricción, elegir dos puntos que la satisfagan y trazar la recta que pase por ambos
  • El semiplano factible es el que satisface la desigualdad correspondiente
• Elegir un VFO arbitrario y trazar una línea de iso-profit eligiendo dos puntos arbitrarios.
• Encontrar la dirección de mejora del VFO; y localizar candidatos a vértices óptimos.
• Calcular la solución correspondiente a cada vértice candidato resolviendo el sistema de ecuaciones de las restricciones activas en ese punto.
• Comparar VFOs sustituyendo las coordenadas de la solución candidato en la función objetivo
• Una solución óptima siempre se encuentra en un vértice
  • Cada desigualdad determina un semiplano factible
  • La región factible es la intersección de semiplanos factibles
  • Para dibujar una restricción, elegir dos puntos que la satisfagan y trazar la recta que pase por ambos
  • El semiplano factible es el que satisface la desigualdad correspondiente

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