Sensibilidad en programación lineal 📉 Análisis Gráfico y en Solver
En esta entrada, nos sumergiremos en el análisis gráfico y en el Solver para desentrañar cómo la sensibilidad en Programación Lineal se convierte en una herramienta esencial para comprender la robustez de nuestras soluciones óptimas frente a cambios en los parámetros del problema.
La sensibilidad nos proporciona una perspectiva invaluable sobre cómo varían las soluciones óptimas a medida que cambian los coeficientes de la función objetivo. Exploraremos cómo abordar estos cambios mediante análisis gráfico y cómo Excel Solver, como herramienta de optimización avanzada, nos brinda la capacidad de evaluar la robustez de nuestras decisiones frente a escenarios dinámicos.
Acompáñennos en este viaje educativo mientras desglosamos los conceptos clave y desmitificamos la sensibilidad en la Programación Lineal, revelando cómo esta herramienta se convierte en un faro de claridad en el mar de decisiones empresariales complejas. ¡Prepárense para descubrir cómo la sensibilidad se convierte en el timón que guía nuestras decisiones hacia la excelencia operativa!
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Análisis de sensibilidad en programación lineal gráfica
Volvamos al Caso Ejemplo de Programación Lineal aplicado a optimizar el Mix de producción visto en un artículo anterior (Puedes acceder al documento en este link). A continuación podrás ver una imagen con la resolución gráfica en ese problema. Recuerda también que puedes usar DESMOS o cualquier otro graficado en línea para resolver estos problemas.
Aumento de los coeficientes
Ahora bien, ¿Qué pasa cuando cambiamos la rentabilidad de alguno de los productos? Por ejemplo, aumentemos el beneficio de X1 para que en lugar de ser 3, sea 7,5. Los resultados quedan como la siguiente imagen
Ahora, en lugar de 7.5 probemos aumentarlo más, hasta 9:
Tal como lo vemos, la pendiente de la nueva función objetivo ha cambiado, y por ende, en este último caso cambió la solución óptima que estaba en el punto [2;6]. Ya que ahora el punto más alejado de la región factible tocado por Z es el punto [4,3],
Disminución de coeficientes
¿Ahora que pasa si en vez de aumentar la rentabilidad del producto 1, la bajo?
Como veíamos en el caso anterior, al subir el coeficiente la pendiente se vuelve cada vez más vertical, debido al aumento de la pendiente. En este caso pasará todo lo contrario y es que la pendiente se volverá más horizontal, tal como se ve en la siguiente figura donde se lleva el beneficio a valor cero (0)
Como vemos en la imagen anterior, por más que bajemos el coeficiente (que representa el beneficio de venta de producto 1) el punto óptimo no cambia, sigue siendo el mismo. Ahora que pasa si llevamos el coeficiente a un valor de -1 (es decir, vender a pérdida). El resultado queda como en la imagen siguiente
En este nuevo escenario vemos que existe una nueva solución óptima para esta función objetivo y es el punto [0;6]
Como hacer un análisis de sensibilidad en programación lineal en Excel Solver
Tal como vimos en este artículo sobre como resolver un problema de programación en excel solver (si no estás familiarizado, te recomiendo que veas el caso), una vez resuelto se debe seleccionar el reporte de sensibilidad
Allí obtendremos un reporte como el siguiente:
Para hacer análisis de sensibilidad nos centraremos en la primera tabla de «celdas Variables». Allí se detallan las variables de decisión y en columnas una serie de datos:
Final value: es el valor final que toma la función en la resolución. En nuestro caso es 2 y 6
Coeficiente objetivo: es el coeficiente de la función objetivo que en nuestro caso se trataba del beneficio obtenido por vender cada uno de esos productos, siendo 3 y 5 respectivamente
Allow inrease/allow decrease: estas dos columnas nos indican cuánto tiene permitido incrementar o decrementar el coeficiente sin cambiar la solución óptima. Es decir, esas columnas representan el rango de optimalidad. Por ejemplo, para la variable 1, el coeficiente es 3 y el mismo puede aumentar hasta 7,5 o disminuir a 0 sin que cambie la solución óptima. Notar que los valores de estas dos columnas deben sumarse y restarse al coeficiente para calcular el intervalo
Sensibilidad en programación lineal: resumen y consideraciones
Los coeficientes objetivos son los valores que acompañan a cada una de las variables de decisión en la formulación de la función objetivo. En el caso ejemplo visto : Z = 3x1 + 5x2. Estos valores definen la pendiente de la “recta de isobeneficio”
Si cambia alguno de estos dos valores, cambiará la pendiente de la recta de isobeneficio. Este cambio siempre implicará un cambio en el valor de la función objetivo. Sin embargo, al cambiar estos valores es posible que la solución óptima siga siendo la misma, tal como lo vimos en el ejemplo. El “Intervalo de optimalidad” de un coeficiente objetivo se define como el rango de valores que este puede tomar sin que cambie la solución óptima del problema.
De forma gráfica, podemos ver que la solución óptima del problema se mantiene hasta el punto en el cual la pendiente de la recta de isobeneficio iguala la pendiente de alguna de las restricciones activas del problema. Más allá de ese punto, cambiará el conjunto de restricciones activas y, probablemente, también cambie la solución óptima del problema.
IMPORTANTE: Estos análisis de sensibilidad solo son válidos si cambiamos de a un coeficiente por vez(manteniendo todos los demás en su valor original)
