Ejemplos de programación lineal en empresas e industrias
Programación Lineal
Algunos ejemplos de programación lineal se pueden encontrar en aplicaciones cruciales en empresas e industrias para la optimización de recursos. Desde la gestión de la cadena de suministro hasta la asignación eficiente de recursos financieros, la programación lineal ayuda a maximizar beneficios y minimizar costos.
Sectores como la logística, manufactura, finanzas y planificación estratégica utilizan esta herramienta para tomar decisiones informadas y eficientes que contribuyen al rendimiento y la rentabilidad empresarial.
A continuación desarrollamos algunos ejemplos de cómo se aplica la programación lineal en las empresas y cuáles son sus objetivos.
Ejemplos de Programación lineal en las industrias
- Planificación de turnos: También puede aplicarse en servicios. En este caso, busca hallar la asignación de trabajadores por turnos, para producir a un costo mínimo, bajo una demanda variable.
- Control de procesos: Desde el punto de vista de la gestión de la calidad, la programación lineal busca minimizar la cantidad de material de desperdicio que se genera en los cortes de acero, cuero o tela de un rollo o lámina de material almacenado.
- Control de inventario: Determinar la combinación óptima de productos almacenados en un almacén.
- Distribución: Encontrar las asignaciones óptimas para envíos desde fábricas hasta centros de distribución.
- Estudio sobre ubicación de plantas: Determinar la ubicación óptima de la planta al evaluar los costos de envío entre lugares alternativos, partiendo de fuentes de aprovisionamiento y demanda ya existentes.
- Ruta óptima de productos: Determinar la ruta óptima de un producto que se tiene que procesar de modo secuencial en varios centros de máquinas, teniendo cada máquina sus propias características de costo y producción.
- Programación de vehículos: Asignar vehículos a productos y determinar el número de recorridos, dependiendo del tamaño del vehículo, la disponibilidad del mismo y las restricciones de la demanda.
Caso y Ejemplos de Programación Lineal aplicado a optimizar el Mix de producción
Este caso se trata de una compañía del rubro de la construcción que fabrica cerramientos de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Actualmente opera con 3 plantas de producción en donde la planta 1 produce marcos de aluminio, la planta 2 produce marcos de madera y la Planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos.
La compañía decidió fabricar dos nuevos productos que son una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio (llamémosle «Producto 1») y Ventana de 4×6 pies con marco de madera(llamémosle «Producto 2»). Cada producto se fabrica en lotes de 20 unidades y el mix de producción se define en lotes por semana.
El jefe de producción de dicha compañía es un ingeniero industrial muy comprometido con la correcta utilización de los recursos, por lo cuál quiere averiguar cuál es el mix de producción que maximiza la ganancia.
Para iniciar con el análisis vamos a realizar un flujograma general del proceso para entender como interactúan las plantas y los depósitos con la demanda.
Formulación del modelo para este problema
Como explicamos en este artículo sobre formulación de modelos de programación lineal, para cualquier problema de programación lineal, lo más importante es definir 3 puntos fundamentales: las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo.
Definición de las variables de decisión
Para definir las variables de decisión (VD) lo recomendable es siempre pensarlo desde el punto de vista de cuáles son aquellos aspectos que estan bajo nuestro control y sobre las cuales podemos influir. En este caso, vamos a definir como variables de decisión (VD):
X = # de lotes del producto 1 a producir por semana
Y = # de lotes del producto 2 a producir por semana
Identificación de las restricciones
El segundo paso es identificar cuáles son las restricciones de nuestro modelo para luego expresarlas en función de las variables de decisión. Por lo general, la restricciones suelen asociarse a los recursos, a la demanda y a otras variables de contexto. Para este ejemplo podemos identificar las siguientes restricciones:
Disponibilidad de tiempo de cada panta, en donde:
Definición de la función objetivo (Función Z)
Por último debemos definir cuál es la función objetivo. Este hito va a depender escencialmente de qué estemos buscando (si minimizar costos, minimizar la utilización de algún recurso, maximizar beneficios, etc.). Es importante remarcar que en este punto, los problemas siempre se tratarán de maximizar o minimizar alguna función. Para este caso, como lo que buscamos es el mix de producción ideal que me permita maximizar el beneficio, podremos defnir a nuestra función objetivo como:
Maximizar Z = 3*X + 5*Y
Siendo 3 y 5 los valores de venta de cada producto expresada en K$.
Habiendo ya planteado el problema, nos dispondremos a solucionarlo buscando determinar la combinación de X e Y (cantidad a fabricar de puertas y ventanas) que maximizan Z, sujeto a las restricciones de disponibilidad y de no-negatividad.
¿Cómo resolver este problema de manera gráfica?
Para resolver el problema haremos una representación gráfica de 2 dimensiones en donde cada una represente a las variables de decisión X e Y. Sobre éstas graficaremos las rectas de las restricciones y la recta de isobeneficio (Z). Si quieres aprender más sobre cómo graficar modelos dep rogramación lineal te recomendamos que leas este artículo sobre Programación Lineal Gráfica.
Primero que nada y a modo de ejemplo, graficaremos distintos valores de Z. Enla imagen de abajo podemos ver que la pendiente de la recta surge de las ganancias por lote. Cada recta muestra la combinación de producción que entrega esa ganancia.
Por ejemplo: La ganancia es $12 con:
X = 0 e Y = 2,4
X = 4 e Y = 0
X= 3,5 e Y= 1
Y así para cualquier par X;Y para una determinada recta de ganancia.
Si cambiáramos los coeficientes de Z (es decir, los ingresos que obtengo por cada producto), las pendientes de la recta serían otras:
De la misma manera que graficamos la función objetivo, vamos a graficar las restricciones del modelo planteando anteriormente. Como se puede ver, las restricciones son rectas que se intersecan entre si en determinados puntos. El área que queda definida por estas rectas (sombreado en la imagen) se llama región factible y está compuesta por todas las soluciones posibles a este problema de programación lineal.
Esto quiere decir que cualquier punto dentro de esta región factible (incluidas las rectas de cada restricción) conforman una solución factible para este problema, pero lo que aún no sabemos el cuál o cuáles de ellas es/son la/s óptimas.
Encontrar la solución óptima de manera gráfica
Cuando el objetivo es maximizar y los coeficientes son positivos, la ganancia crece hacia arriba y a la derecha (X e Y aumentan). Por lo cual, lo que se debe hacer es mover la recta de la función Z en ese sentido hasta poder detectar cuál es el último punto que toca de la región factible.
Cómo podemos ver en la resolución gráfica, el mix de producción óptimo para este modelo serán 2 unidades del producto 1 y 6 unidades del producto 2, con un beneficio total de $ 36000.
Encontrar la solución óptima de forma matemática
Para este caso, podemos resolver el problema matemático de dos maneras. La primera es realizando la igualación de las rectas que conforman el punto óptimo. Al hacer este movimiento, estaremos formando un sistema con 2 ecuaciones y 2 ingcógnicas. Luego, despejamos los valores de X e Y que conforman la solución.
Esta manera de operar matemáticamente podríamos hacerlo también para cada vértice del area factible. Al obtener el valor de cada vértice podremos ver cuál es el mayor, es decir, el óptimo. Esto sive por ejemplo cuando 2 vértices están muy próximos entre sí y gráficamente es dificil detectar cuál es el óptimo.
La dsventaja de este modo matemático es que solo sirve para 2 variables de decisión. Ya cuando tengo más, es recomendable usar un software como puede ser el excel solver. En este link te comparto un artículo que muestra como resolver el ejercicio anterior en Excel Solver.
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