La programación lineal gráfica es una manera de resolver problemas de programación lineal de baja complejidad. La restricción de esta es que solo se puede utilizar para resolver modelos de 2 variables de decisión.
Si los modelos en los que trabajamos tiene más de 2 variables de decisión, entonces, lo más recomendable es usar un software como el Excel Solver. En este artículo abordaremos todas las instancias necesarias para poder resolver problemas de programación lineal de manera gráfica en 2 dimensiones.
Si todavía no estás muy familiarizado con estos conceptos, te recomiendo que antes de avanzar aquí, leas este artículo sobre qué es la programación lineal y este otro sobre cómo formular los modelos.
Otros Artículos que te podrían interesar sobre Programación Lineal y Método Simplex
Para Comenzar debemos pararnos en una gráfica de representación bidimensional como la que se ve en la imagen debajo.
Aquí vemos un espacio en forma de plano con 2 variables espaciales, X1 y X2. Las rectas que conforman la gráfica y que representan cada variable, parten el espacio en 4 cuadrantes, combinando las posibilidades de valores positivos y negativos de ambas variables.
Ahora bien, como nuestro caso de estudio son modelos de programación lineal de cosas físicas y reales (que no pueden ser negativas), por lo general vamos a estar trabajando en uno solo de esos cuatro cuadrantes, y es en el del lado superior derecho.
En este cuadrante, X1 y X2 son siempre mayores a cero (0). Este cambio en la región a utilizar se les suele llamar restricciones de No-Negatividad, y se expresan como
X1 >= 0
X2>= 0
A continuación se detalla los pasos y el orden a seguir para hallar la solución optima de un modelo de programación lineal de manera gráfica.
Para explicar cómo graficar las rectas beneficio, tomemos como referencia la última gráfica con las restricciones de no-negatividad. A continuación, tratemos de graficar la función objetivo (Z) desarrollado en nuestro Caso Ejemplo de Programación Lineal aplicado a optimizar el Mix de producción. Este caso ejemplo, visto en el artículo de introducción a programación lineal, puedes ver su resolución accediendo aquí.
En ese problema, la función objetivo planteada es: Z = 3x1 + 5x2. En la Imagen debajo podrás ver un resumen del modelo de programación lineal planteado.
Como vemos en la gráfica debajo, la pendiente de la recta surge de las ganancias por lote. Cada recta muestra la combinación de producción que entrega esa ganancia.
Por ejemplo: La ganancia es 12 k$ con:
Y así para cualquier par [x1;x2] que forme parte de esta recta.
Sin restricciones, la solución óptima es fabricar infinito y ganar infinito. Como vemos en la gráfica debajo, al subir el valor de Z la función tiende al infinito en el cuadrante positivo, ya que incrementa Z.
Si en lugar de ser beneficios, los coeficientes de Z fueran costos, entonces vamos a buscar minimizar, es decir, que la recta Z debe moverse hacia el origen hasta chocar con cero.
Veamos a continuación cómo graficar las restricciones. Para ello, iremos graficando cada una de las planteadas en el ejercicio anteriormente mencionado
Para encontrar la solución óptima, lo que debemos hacer sobre la gráfica anterior donde están plasmadas las restricciones que conforman la región factible (zona del gráfico sombreada).
Esta región está compuesta por todos los puntos que son solución factible de este problema. Son factibles ya que en esa zona confluyen los planos de todas las restricciones, y por ende, cualquiera de esos puntos es una solución factible.
Para saber cuál de todos esos puntos es la solución óptima, lo que primero vamos a hacer es graficar la recta isobeneficio con cualquier valor, como se muestra a continuación
Luego, se procede a incrementar el valor de Z, es decir, se va desplazando la recta de Z (sin cambio de pendiente), lo que genera que cada vez que grafico la recta, la sucesiva es paralela a la anterior.
En estos modelos donde debemos MAXIMIZAR la función, la solución factible óptima siempre la vamos a encontrar en el punto más alejado en el origen que toque la recta isobeneficio. Como vemos en la imagen debajo, ese punto se encuentra, para este problema, en Z=36K$.
Dicho de otro modo, cuando el objetivo es maximizar y los coeficientes son positivos, la ganancia crece hacia arriba y a la derecha (x1 y x2 aumentan). Por eso, el punto óptimo va a estar en, al menos, uno de los vértices del espacio de restricciones.
Podemos clasificar las restricciones de un problema de programación lineal en 2 categorias:
Restricciones activas: son aquellas que están afectando el valor óptimo de la función objetivo. A menudo, cuando el valor de una restricción activa cambia, el valor óptimo de la función objetivo también cambiará. A este análisis en la sensibilidad de las restricciones activas se lo suele llamar análisis de precio sombra.
Restricciones inactivas: son aquellas restricciones que en el estado actual no afectan al valor óptimo de la función objetivo en un eventual cambio en los valores de la restricción.
La visualización gráfica es esencial en la programación lineal, y los graficadores en línea ofrecen una solución conveniente para representar ecuaciones y restricciones. Aquí te presentamos el top 3 de los mejores graficadores gráficas en línea:
Reseña:
Desmos destaca por su interfaz intuitiva y potentes capacidades gráficas. Ofrece herramientas robustas para trazar funciones, ecuaciones y desigualdades. Su simplicidad y versatilidad la convierten en una opción favorita tanto para principiantes como para usuarios avanzados. Además, permite la colaboración en tiempo real, facilitando el trabajo en equipo.
Reseña:
GeoGebra es conocida por su enfoque educativo y su capacidad para integrar álgebra, geometría y cálculo. Es una herramienta poderosa para visualizar funciones y ecuaciones, y su interfaz interactiva permite la manipulación en tiempo real. Es ideal tanto para estudiantes como para profesionales que buscan una herramienta educativa y funcional.
Reseña:
Desmos Geometry Tool es la herramienta de geometría de Desmos es una opción excepcional para aquellos que buscan centrarse en visualizaciones geométricas precisas. Ofrece herramientas para construir y manipular figuras geométricas, brindando una experiencia rica en detalles para la representación gráfica espacial.
Estas graficadoras en línea proporcionan un enfoque visual potente y accesible para la programación lineal, adaptándose a diversas necesidades y niveles de experiencia. ¡Explora estas opciones y lleva tu visualización a un nivel superior!
De lo visto anteriormente podemos resumir en la siguiente lista los conceptos claves de la resolución gráfica del ejemplo anterior:
¿Llegaste hasta acá? ¿Te quedaste con gansa de más? Te dejamos a continuación la mejore selección de Libros para seguir estudiando y Aprendiendo Sobre Programación Lineal