Formulación de modelos de programación lineal 📕 Guía Completa
La formulación de modelos de programación lineal se suele presentaren situaciones de negocios donde los recursos son limitados y la demanda de los mismos es suficientemente grande.
Es una técnica de programación matemática que se utiliza para solucionar los problemas referentes a la asignación de recursos escasos de manera óptima entre actividades que compiten por el uso de los mismos. Los recursos pueden ser tiempo, dinero o materiales, y las limitaciones se conocen como restricciones.
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✅ Componentes a utilizar en la Formulación de modelos de programación lineal
Estos modelos cuentan con 3 componentes fundamentales a identificar, que desarrollamos a continuación:
- Variables de decisión: Las variables que representan las opciones que están bajo el control de la persona que toma las decisiones.
- Función objetivo: Una expresión en el modelo de programación lineal que enuncia matemáticamente lo que se intenta maximizar (por ejemplo, las utilidades o el valor presente) o minimizar (por ejemplo, los costos o el desperdicio).
- Restricciones: Las limitaciones que restringen las opciones permisibles para las variables de decisión.
La formulación efectiva de un problema de programación lineal implica la identificación y comprensión de sus tres componentes esenciales.
En primer lugar, las variables de decisión son los elementos clave que representan las opciones disponibles bajo el control de quien toma las decisiones. Estas variables, al ser manipuladas, influyen directamente en los resultados del modelo.
La función objetivo, por otro lado, constituye una expresión matemática fundamental en el marco de la programación lineal. Esta expresión establece claramente lo que se busca maximizar (como utilidades o valor presente) o minimizar (como costos o desperdicio), proporcionando una meta cuantificable para la toma de decisiones.
Además, las restricciones desempeñan un papel crucial en la formulación del problema. Estas limitaciones delinean las opciones permisibles para las variables de decisión, agregando un nivel de realismo al modelo.
Las restricciones pueden surgir de diversas fuentes, como recursos limitados o regulaciones específicas. La habilidad para equilibrar eficientemente estas restricciones mientras se trabaja hacia la optimización de la función objetivo es esencial para el éxito de la programación lineal.
En resumen, al comprender y aplicar adecuadamente los componentes de variables de decisión, función objetivo y restricciones, se establece una base sólida para la formulación y resolución efectiva de problemas de programación lineal, permitiendo la toma de decisiones informada y estratégica en diversas situaciones empresariales.
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✅ Requisitos y supuestos para la Formulación de modelos de programación lineal
La formulación de un problema de programación lineal requiere una cuidadosa atención a los requisitos y supuestos fundamentales que lo respaldan. En primer lugar, el modelo debe estar diseñado para maximizar o minimizar una variable crítica identificada como la función objetivo. Este enfoque claro y cuantificable establece el propósito central del modelo, brindando dirección a la toma de decisiones. La limitación de recursos es otro requisito clave, ya que la escasez y restricción de recursos son la base de muchos problemas abordados mediante la programación lineal.
La linealidad emerge como un principio esencial en este contexto, donde tanto la función objetivo como las restricciones se expresan como funciones lineales. Esta característica permite una representación matemática más manejable y eficiente. La certeza en los valores de los parámetros es un supuesto subyacente, ya que la programación lineal asume que estos son conocidos y constantes durante la resolución del problema.
La divisibilidad de productos y recursos es un aspecto crucial, permitiendo que las variables tomen valores no enteros. Esta flexibilidad es esencial para abordar situaciones en las que la cantidad de productos o recursos no está limitada a valores enteros. Por último, la homogeneidad, que implica la ausencia de economías de escala, es un supuesto que contribuye a mantener la simplicidad y claridad en la formulación del problema.
Podemos decir que, al tener en cuenta los requisitos y supuestos de maximización/minimización, limitación de recursos, linealidad, certeza, divisibilidad y homogeneidad, se establece un marco robusto para abordar problemas complejos mediante la programación lineal. Esto brinda una base estructurada para la toma de decisiones estratégicas en entornos empresariales y operativos.
En resumen:
podemos decir que para desarrollar un modelo de estas características, es necesario que cuente con las siguientes características:
- Deben buscar maximizar o minimizar una variable crítica (a la que llamaremos la función objetivo).
- Los recursos son limitados.
- Linealidad: la función objetivo y las restricciones se expresan como funciones lineales.
- Certeza: valores de los parámetros son conocidos y constantes.
- Divisibilidad de productos y recursos, que implica que las variables pueden tomar valores no enteros.
- Homogeneidad: no hay economías de escala.
✅ Caso ejemplo de Formulación de modelos de programación lineal
Supongamos que te encargas de organizar un grupo de trabajo para la fabricación de un nuevo producto. Para ello cuenta con un plantel de 30 profesionales y 20 técnicos del cual puede tomar la mano de obra. Según convenio laboral es necesario que haya mayor o igual número de técnicos que de profesionales y que el número de técnicos no supere el doble de los profesionales.
En el pañol de herramientas cuenta con 50 kits de herramientas para poder confeccionar este producto. Se sabe que cada profesional toma un kit herramienta del pañol, mientras que cada técnico toma dos.
El beneficio que aporta por jornada cada uno de los integrantes está estimado en: 150 USD por cada profesional y de 120 USD por cada técnico.
Los 3 pasos para el planteo del modelo
Para comenzar a plantear el modelo, volvemos con los 3 pasos fundamentales que son: definir las variables de decisión, identificar las restricciones del caso y definir la función objetivo.
Paso 1: Identificar variables de decisión
¿ Qué variables están bajo nuestro control?
En este caso podríamos identificar 2 varialies
- •X = Cantidad de profesionales
- • Y= Cantidad de técnicos
Paso 2: Identificar Restricciones
Una vez definidas las variables de decisión, el siguiente paso es definir las restricciones en función de aquellas. Para este problema, las restricciones serían:
- 50 kits de herramientas: los profesionales usan 1 y los técnicos usan 2. ➡️ X + 2Y < = 50
- Número de técnicos no supere el doble de los profesionales. ➡️ Y< = 2X
- Convenio laboral: mayor o igual número de técnicos que de profesionales. ➡️ X< = Y
- Cantidad de personal disponible : ➡️ X<=30 ➡️ Y<=20
- No negatividad: ➡️ X e Y >=0
Paso 3: Identificar Función Objetivo
El beneficio que aporta por jornada cada uno de los integrantes está estimado en: 150 USD por cada profesional y de 120 USD por cada técnico. Podemos definir entonces a la función objetivo como la siguiente maximización (se maximiza debido a que los coeficientes son beneficios)
Max(Z) = 150 * X + 120 * Y
✅ Resolución Gráfica del modelo de programación lineal
Para encontrar la solución óptima, podemos hacerlo mediante un graficador como desmos. Vamos a enoncontrar la solución óptima de manera gráfica en uno de los vértices de la región de puntos factibles. La región factible es aquella donde todos sus puntos son posibles soluciones, siendo la de los vértices las posibls soluciones óptimas.
La forma de hacerlo es dandole valores diversos a la función objetivo (es decir a Z) hasta encontrar aquel valo toca la región factible en su punto más alejado del orgien.
La solución óptima para este ejercicio es el punto más alejado al origen que intersecta a la región factible. En nuestro caso, este punto es el vértice (16,667;16,667) como muestra la imagen.
Resolución animada en DESMOS
Si no puedes visualizar la resolución de DESMOS accede haciendo clic aquí
✅ Resolución Matemática del modelo de programación lineal
A continuación mostramos como es la resolución matemática. Para hacerlo debemos primero enfocarnos en el gráfico. Como vemos la solución optima esta compuesta por la restricciones X + 2Y < = 50 y X< = Y. Por ende, la solución óptima, es el punto conformado por la intersección de estas dos rectas. Para calcular el punto de interseción de esas dos rectas solo basta plantear un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas (x e y). A continuación se muestra la resolución matemática.
✅ ¿Qué decisión tomar? De la teoría a la práctica en la formulación de modelos de programación lineal
Dado el ejercicio anterior, ¿cuál es la decisión que deberá tomar la empresa al a hora de contratar?
En la realidad, como los recursos son personas, vamos a tener que tomar NÚMEROS ENTEROS para valores de X e Y.
Con lo cual, si redondeamos (hacia abajo o arriba) podríamos evaluar los siguientes 4 puntos:
- X=16; Y=16 ✔️
- X=16; Y=17 ✔️
- X=17;Y=17 ✖️ Esta opción NO es factible porque no cumple la restricción de X+2Y<=50, ya que 17+17*2=51
- X=17; Y=16 ✖️Esta opción no es factible porque no cumple la restricción de X<=Y ya que 17 no es menor que 16
Dicho lo anterior, veremos que la decisión a tomar está entre los puntos 1 y 2. Si lo análizamos gráficamente en la siguiente imagen vemos que, con la pendiente de Z, el punto más alejado del origen es X=16;Y=17
Si bien ya lo chequeamos gráficamente, si lo hacemos matemáticamente, reemplazando estos dos conjuntos de punto en la función objetivo, veremos que la opción 2 tiene mayor Beneficio:
1.X=16; Y=16 ➡️ Z=150*16+150*16 =$4320
2. X=16; Y=17 ➡️ Z=150*16+150*17 =$4440
Como los valores de x e y deben ser números enteros y además, como la cantidad de técnicos debe ser mayor o igual que la de profesionales, x=16; y=17 es la solución óptima que maximiza los beneficios a $4440.
Si bien la solución matemática es x=16.66 ; y= 16.66, y con un beneficio de 4500$, vemos que esta no es factible por la necesidad de uqe la solución sean números enternos. Vemos que la diferencia entre el modelo matemático y la solución implementada es de +$60
